# 辐射度量学（Basic radiometry）

主要是用来定义光的一些空间中的属性。

• 辐射通量（Radiant flux）
• 强度（Radiant Intensity）
• 照度（Irradiance）
• 亮度（Radiance）

# Radiant Energy and Flux（Power）

# 辐射能量（Radiant Energy）

光线自身的能量，单位 $J$ —— 焦耳。

$$Q[J=Joule]$$

# 辐射功率（Radiant Flux）

单位时间的能量（功率），单位 $W$ —— 瓦特 or $lm$ —— 流明。

$$\Phi = \frac{dQ}{dt}[W=Watt][lm=lumen]^*$$

「Flux」也可以理解为，单位时间内，通过传感器的光子数量。

# Other Important Light Measurements

• 从光源可以辐射出的能量。（Radiant Intensity）
• 每个物体的表面能够接收到的能量。（Irradiance）
• 光线传播中的能量。（Radiance）

# 辐射强度（Radiant Intensity）

辐射强度是指点光源发出单位「立体角（solid angle）」的功率。

$$I(\omega) = \frac{d\Phi}{d\omega}$$

$$\begin{bmatrix} \frac{W}{sr} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{lm}{sr} = cd = candela \end{bmatrix}$$

# What is 「solid angle」❓

# Angles and Solid Angles

角度的定义：

• 弧度：$\theta = \frac{l}{r}$ 。
• 圆的弧度（radians）是 $2 \pi$。

立体角的定义：

• 投影面积：$\Omega = \frac{A}{r^2}$ 。
• 球的立体度（steradians）为 $4 \pi$。

# 微分立体角（Differential Solid Angles）

对 $x, y$ 两个轴的偏角为 $\theta,\phi$。要求的投影的面积，可以理解为对一个二维的坐标求积分。

假设沿着垂直方向偏移 $d\theta$ 个单位的弧度，沿着水平方向便宜 $d\phi$ ，已知球的半径为 $r$，根据 $\text{弧长} = \text{弧度} \times \text{半径}$ 。

可以求得投影的长和宽分别是 $r d \theta$ 和 $r \sin \theta d \phi$ 。由此，便可以计算出矩形的面积 $dA$。

已知在 $x, y$ 的角度分为别 $\theta,\phi$，计算面积的公式如下：

$$dA = (r d \theta)(r \sin \theta d \phi) = r^2 \sin\theta d \theta d \phi$$

通过计算到的面积，就可以求得「微分立体角」：

$$\Omega = \frac {A}{r^2} \quad \to \quad d \omega = \frac {d A}{r^2} = \sin \theta d\theta d\phi$$

对于整个球来说，把所有方向的「微分立体角」求积分，就可以得到球的「立体度」：

$$\text{Sphere: }S^2 \quad \Omega = \int_{S^2}d \omega = \int_{0}^{2 \pi}\int_{0}^{\pi} \sin \theta d \theta d \phi = 4 \pi$$

相关扩展阅读：传送门

# 通过 $\omega$ 定义一个微分立体角

空间中的向量，一版可以用 $\omega$ 表示， $\omega$ 又可以通过 $\theta,\phi$ 的方式定义其位置和方向。（单位长度）

# Isotropic Point Source

一个点光源的辐射可以视作一个球体。已知球体的立体度为 $4\pi$。那么在某个单位向量的光线强度 $I$ 就等于总能量除以球体的立体度$\frac{\Phi}{4\pi}$。

$$\Phi = \int_{S^2}Id \omega = 4 \pi I \quad \to \quad I = \frac{\Phi}{4\pi}$$

# 照度（Irradiance）

照度其实就是用来表示单位面积的「入射光照」功率。

$$E(x) = \frac{d\Phi(x)}{dA} \begin{bmatrix} \frac{W}{m^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{lm}{m^2} = lux \end{bmatrix}$$

此处定义的入射光照，必须是垂直于物体表面的光线。如果光线和物体表面不垂直，则必须转换成垂直的光线。

所以不同角度的入射光线，会影响每个点所接受到的「Irradiance」值。

同样，光线的「Irradiance」还会根据传播的距离进行衰减，由于辐射范围越大，导致辐射到的球面积越大，最终使得每个辐射点的「Irradiance」越小。

# 亮度（Radiance）

单位面积的区域内「接受」的入射光线，所辐射到单位立体角上的功率。

• Irradiance：单位面积内接受到的射入光功率。

• Instensity：物体辐射光线到单位立体角的功率。

• Radiance：「Irradiance」的功率，辐射到单位立体角内的数值；或者「Instensity」辐射出的功率，所需单位面积接受到多少的功率。

$$L(p,w) = \frac{d^2\Phi(p,w)}{dwdA\cos\theta} \begin{bmatrix} \frac{W}{m^2sr} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{cd}{m^2} = \frac{lm}{m^2sr} = nit \end{bmatrix}$$

# 入射亮度（Incident Radiance）

表示从单位立体角射入的照度（Irradiance）。

$$L(p,w) = \frac{dE(p)}{dw \cos \theta}$$

# 出射亮度（Exiting Radiance）

表示从单位面积辐射出的辐射强度（Intensity）

$$L(p,w) = \frac{dI(p,w)}{dA \cos\theta}$$

# Irradiance vs Radiance

• Irradiance：表示一个单位面积收到的总功率 $x$。
• Radiance：总功率为 $x$ 的光线，从某个立体角射入，所能给单位面积接受到的总功率 $x^{\prime}$ 。

$$dE(p, w) = L_i(p,w) \cos \theta dw$$

单位面积接受到的总功率，可以理解为对半球表面每个单位面积求和，即：对单位半球面积上的每个入射光求积分。

$$\text{单位半球面积:}H^2 \quad \to \quad E(p) = \int_{H^2} L_i(p,w)\cos \theta dw$$

# 双向反射分布函数（Bidirectional Reflectance Distribution Function）——BRDF

用于描述从一个方向射入的光线，反射到各个方向上的能量值。

或者理解成，一个物体吸收了某个方向射入的光线，辐射到各个方向的光线功率。

通常也可以理解为物体本身的材质（materials）属性。

如下图：

• 从 $w_i$ 立体角方向射入的光线。
• 照射到物体表面单位面积 $dA$ 。
• 并把能量辐射到立体角方向为 $w_r$ 。

$$\text{A点接受到的能量：} \quad dE(w_i) = L(w_i)\cos {\theta}_i d w_i$$

# 如何把 $dE(w_i)$ 转变为 $dL_r(x, w_r)$ ❓

通过 BRDF 计算辐射出的能量。这里假定是漫反射，那么每个单位的能量就是球面度分之一 $\frac{1}{sr}$ 。

$$f_r(w_i \to w_r) = \frac{dL_r(w_r)}{dE_i(w_i)} = \frac{dL_r(w_r)}{L_i(w_i) \cos \theta_i d w_i} \begin{bmatrix} \frac{1}{sr} \end{bmatrix}$$

# Light Transport

• 反射方程
• 渲染方程

# 反射方程（The Reflection Equation）

现在已知一个方向的入射光反射到另一个方向上的功率，那么就可以通过积分每个方向的入射光到该方向上的功率，得到该点观察时的「总功率」。

$$L_r(r,w_r) = \int_{H^2}f_r(p, w_i \to w_r)L_i(p, w_i) \cos \theta_i dw_i$$

# 渲染方程（The Rendering Equation）

把物体自身的发光值加上对其他物体的反射光值，就是最终的渲染方程。

这里的球面，认为负半球不透光，$\cos \theta = n \cdot w_i$ ，且 $\cos \theta > 0$

$$L_o(p,w_o) = L_e(p,w_o) + \int_{\Omega^+}L_i(p, w_i)f_r(p,w_i,w_o)(n \cdot w_i) dw_i$$

# 积分方程（Integral Equation）

$$\text{渲染方程：} L_r(x,w_r) = L_e(x,w_r) + \int_{\Omega}L_r(x^{\prime}, -w_i)f(x,w_i,w_r)\cos \theta_i dw_i$$

其中各个部分含义如下：

$L_r(x,w_r)$：物体最终的光照，未知，需要计算。

$L_e(x,w_r)$：物体自身的光照，已知。

$\int_{\Omega}L_r(x^{\prime}, -w_i)$：物体的反射光，未知。

$f(x,w_i,w_r)\cos \theta_i dw_i$：光线反射系数，BRDF，入射角余弦， 已知。

简化后的方程式，$u$ 表示观察物体，$v$ 表示其他光源：

$$l(u) = e(u) + \int l(v)K(u,v)dv$$

简化成算子形式，$L$ 观察值，$E$ 观察物体自身光照，$KL$ 其他物体发出并被观察物体反射的光照

$$L = E + KL$$

# 方程展开

$$L = E + KL$$

$$L-KL = E$$

$$(1-K)L = E$$

$$L = (1-K)^{-1}E$$

二项式定理：

$$L = (1 + K + K^2 + K^3 + ...)E$$

$$L = E + KE + K^2E + K^3E + ...$$

光栅化的渲染模式，只能够比较准确的处理物体自己的光照，和经过物体弹射一次的光照。再多的弹射次数下，性能要求指数增长。

# 关键字

• 泰勒级数 —— 几何级数：$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n = 1 + x^2 + x^3 + ... + x^n \quad \forall x :|x|<1$
• 全局光照（Global illumination）：直接光照（物体自身辐射光照）+ 间接光照（物体反射其他光源的光照）