以下为个人学习笔记整理,涉及坐标内容统一用右手坐标系,课程官网

# 几何(Geometry)

如何描述不同形状的几何,如何定义光滑的曲面。

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# 几何的表示

# 隐式(Implicit)

隐式的表示方法相当于定义了一组规则,即:每个点都可以由函数推导出来。而我们不给出每个点的具体值,只提供推导函数。例如:

  • 球体的表示 x2+y2+z2=1x^2 + y^2 + z^2 = 1
  • 通用的定义形式:f(x,y,z)=0f(x,y,z) = 0

# 构造立体几何(Constructive Solid Geometry)

通过基本几何之间的互相运算,来表示其他的复杂几何。

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# 距离函数(Distance Functions)

定义空间中的某个点,几何形体上各个顶点到该点距离,就可以视作一个距离函数。

  • 两个几何物体的合并,就可以视为两个几何物体的距离函数的 blending。
  • 得到新的距离函数,再恢复成几何物体,就可以得到最终的融合效果。

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可以通过 Blend 的方法,得到水滴的融合效果。

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# 混合移动边界(Blending a moving Boundary)

通过一个物体两个不同时间的形状,推断出其中间时刻的形状。

例如一个物体在 A 时刻占据了 1/31/3 的大小,B 时刻占据了 2/32/3 的大小,那么在 A,B 的中间时刻,按理应该占据 1/21/2 的大小。

直觉上,以左边界作为原点直接使用 blend 对距离函数进行混合,结果会出现偏差,中间 1/31/3 的区域会变成半透明状态。

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如果把物体的右边界作为原点,使用 blend 对距离函数进行混合,才能得到正确的混合效果。

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# 距离函数到几何物体

最直观的办法就是求得距离函数上所有距离为 0 的位置给求出来,就可以形成几何物体的表面。

f(x)=0f(x) = 0

# 水平集方法(Level Set Methods)

当某些情况下,距离函数不太好写成解析形式(求 f(x)=0f(x) = 0 比较困难)的时候,就可以通过「水平集方法」来粗略的得到边界。

通过求得每个格子的距离值,来大致的估算最终为 0 的边界。

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通过定义一个水平级(恒定组织密度),来得到某一类物体的表面轮廓(组织器官的轮廓)

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# 分形(Fractals)

类似递归的概念。

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# 优缺点

  • 优点:
    • 表示简单,占用空间小。
    • 判断判断空间中的一个点是否在该物品表面(内 or 外)非常的简单。
    • 对于光线求交的计算比较方便。
    • 描述简单集合更加的严谨和精确。
    • 易于处理拓扑变化。
  • 缺点:
    • 很难给复杂的几何建立隐式的表示。

# 显示(Explicit)

要么直接给出三维空间中的坐标,要么通过定义一个 (u,v)(u,v)(x,y,z)(x,y,z) 的映射的函数。

f:R2R3;(u,v)(x,y,z)f:R^2 \to R^3; (u,v) \to (x,y,z)

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# example

f(u,v)=((2+cosu)cosv,(2+cosu)sinv,sinu)f(u,v) = ((2 + \cos u) \cos v, (2 + \cos u) \sin v, \sin u)

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# 点云(Point Cloud)

用一个个的点,来绘制想要的图形。

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# 多边形网格(Polygon Mesh)

通过顶点和多边形组成图形。

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# 常见的多边形网格表示(.obj file)

下图表示的是一个空间中的立方体。

  • v x y zv 表示是顶点, x y z 表示立方体的每个顶点的坐标。
  • vn x y zvn 表示各个面的法线, x y z 表示各个面的法线方向。
  • vt x yvt 表示纹理坐标, x y 表示顶点的纹理坐标值 u v
  • f v_number\vt_number\vn_numberf 表示构成面的顶点, v_number 表示顶点编号, vt_number 表示纹理坐标编号, vn_number 表示法线编号。

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# 优缺点

  • 优点:
    • 表示复杂的图形比较简单
  • 缺点
    • 但要判断一个点是否在几何图形上(内 or 外)比较困难
    • 占用空间较大
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